绝密启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数的最小正周期是.2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.3. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 设若，则的取值范围为_____________.5. 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .9. 若，则满足的取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.11. 已知互异的复数a,b满足ab0，集合{a,b}={,},则= .12. 设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则 . 13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .14. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设,则“”是“”的（ ）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）（A）1 (B)2 (C)4 (D)817. 已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解 （C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解18. 若是的最小值，则的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) 三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积. zxxk（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。设常数，函数若=4，求函数的反函数；根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.设计中是铅垂方向，若要求zxxk，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT 求证：点被直线分隔； = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT 若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； = 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT 动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.若，求的取值范围；若是公比为等比数列，，zxxk求的取值范围；若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.上海数学（理）参考答案一、1. 2. 6 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.-1 12. 13. 14. 二、15.B 16.A 17.B 18.D 19.解：由题得，三棱锥是正三棱锥侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形由题得，，又三点恰好在构成的的三条边上，三棱锥是边长为2的正四面体如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于为中点，为的重心，底面，，解：（1）由题得，，且当时，，对任意的都有，为偶函数当时，，，对任意的且都有，为奇函数当且时，定义域为，定义域不关于原定对称，为非奇非偶函数解：（1）由题得，，且，即，解得，，米由题得，，，米，米证明：（1）由题得，，被直线分隔。解：（2）由题得，直线与曲线无交点即无解或，证明：（理科）（3）由题得，设，，化简得，点的轨迹方程为。当过原点的直线斜率存在时，设方程为。联立方程，。令，，显然是开口朝上的二次函数由二次函数与幂函数的图像可得，必定有解，不符合题意，舍去当过原点的直线斜率不存在时，其方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。，符合题意综上所述，仅存在一条直线是的分割线。证明：（文科）（3）由题得，设，，化简得，点的轨迹方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。，符合题意。是的分割线。解：（1）由题得，（理科）（2）由题得，，且数列是等比数列，，，，。又，当时，对恒成立，满足题意。当时，当时，，由单调性可得，，解得，当时，，由单调性可得，，解得，（理科）（3）由题得，，且数列成等差数列，，，，又，，，解得，，的最大值为1999，此时公差为2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. （2014）函数的最小正周期是 .【解析】：原式，2. （2014）若复数，其中是虚数单位，则 .【解析】：原式3. （2014）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程4. （2014）设 若，则的取值范围为 .【解析】：根据题意，，5. （2014）若实数满足，则的最小值为 .【解析】：6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】：设圆锥母线长为，底面圆半径为，，，即，，即母线与底面夹角大小为7. （2014）已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是 .【解析】：曲线的直角坐标方程为，与轴的交点为，到原点距离为8. （2014）设无穷等比数列的公比为，若，则 .【解析】：，，9. （2014）若，则满足的的取值范围是 .【解析】：，结合幂函数图像，如下图，可得的取值范围是10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则 选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】：11. （2014）已知互异的复数满足，集合，则 .【解析】：第一种情况：，，，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：，，，即；12. （2014）设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 .【解析】：化简得，根据下图，当且仅当时，恰有三个交点，即13. （2014）某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若，则小白得分的概率至少为 .【解析】：设得分的概率为，，且，，与前式相减得：，，，即14. （2014）已知曲线，直线. 若对于点，存在上的点和 上的使得，则的取值范围为 .【解析】：根据题意，是中点，即，，二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. （2014）设，则“”是“且”的（ ）(A) 充分条件.(B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.【解析】：B16. （2014）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为 （ ）(A) .(B) .(C) .(D) .【解析】：根据向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，为定值，选A17. （2014）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于 和的方程组的解的情况是 （ ）(A) 无论如何，总是无解.(B) 无论如何，总有唯一解.(C) 存在，使之恰有两解.(D) 存在，使之有无穷多解.【解析】：由已知条件，，，有唯一解，选B18. （2014）设 若是的最小值，则的取值范围为（ ）(A) .(B) .(C) .(D) .【解析】：先分析的情况，是一个对称轴为的二次函数，当时，，不符合题意，排除AB选项；当时，根据图像，即符合题意，排除C选项；选D；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （2014）(本题满分12分)底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积.【解析】：根据题意可得共线， ，， ，，同理， 是等边三角形，是正四面体，所以边长为4； 20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数，函数.(1) 若，求函数的反函数；(2) 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1），，，， ， （2）若为偶函数，则，， 整理得，，此时为偶函数 若为奇函数，则，， 整理得，，，此时为奇函数 当时，此时既非奇函数也非偶函数21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米. 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和. (1) 设计中是铅垂方向. 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？(2) 施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确到米）.【解析】：（1）设的长为米，则，， ，，， 解得，的长至多为米 （2）设，， 则，解得， ，的长为米22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.(1) 求证：点被直线分割；(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.【解析】：（1）将分别代入，得 点被直线分割 （2）联立，得，依题意，方程无解， ，或 （3）设，则，曲线的方程为 当斜率不存在时，直线，显然与方程联立无解，又为上两点，且代入，有，是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，令，则，，，当时，，，即在之间存在实根，与曲线有公共点当时，，即在之间存在实根，与曲线有公共点直线与曲线始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线（2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分. 已知数列满足，，. (1) 若，求的取值范围；(2) 设是公比为的等比数列，. 若，， 求的取值范围；若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及 取最大值时相应数列的公差.【解析】：（1）依题意，，，又，， 综上可得； （2）由已知得，又， 当时，，，即，成立 当时，，，即， ，此不等式即，， ， 对于不等式，令，得，解得， 又当时，，成立，当时，，，即，即，时，不等式恒成立综上，的取值范围为（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，，则由已知得，，当时，不等式即，，，时，，解得，，的最大值为，此时公差