2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（理）一、选择题1.设，则( ）A.B.C.D.答案：C解析：设，则，，所以，，所以.2.已知集合，，则( )A.B.C.D.答案：C解析：，；当，时，；当，时，.所以，.故选C.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A.B.C.D.答案：A解析：根据正弦函数的值域，故，，为真命题，而函数为偶函数，且时，，故，恒成立.，则也为真命题，所以为真，选A.4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A.B.C.D.答案：B解析：，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.5.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）A.B.C.D.答案：D解析：如图，为直线与所成角的平面角.易知为正三角形，又为中点，所以.6.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A.种B.种C.种D.种答案：C解析：所求分配方案数为.7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）A.B.C.D.答案：B解析：逆向：.故选B.8.在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为（ ）A.B.C.D.答案：B解析：由题意记，，题目即求的概率，绘图如下所示.故.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）A.B.C.D.答案：A解析：连接交于，则.记，，则.而，.所以.故，所以高.10.设，若为函数的极大值点，则A.B.C.D.答案：D解析：若，其图像如图（1），此时，；若，时图像如图（2），此时，.综上，.11.设是椭圆：的上顶点，若上的任意一点都满足，，则的离心率的取值范围是（ ）A.B.C.D.答案：C解析：由题意，点，设，则，故，.由题意，当时，最大，则，，，，.12.设，，，则（ ）A.B.C.D.答案：B解析:设，则，易得.当时，，故.所以在上单调递减，所以，故.再设，则，易得.当时，，所以在上.故在上单调递增，所以，故.综上，.二、填空题13.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为 .答案：解析：易知双曲线渐近线方程为，由题意得，，且一条渐近线方程为，则有（舍去），，故焦距为.14.已知向量，，若，则 .答案：解析：由题意得，即，解得.15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为， ，，则 .答案：解析：，所以，由余弦定理，，所以.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1），平面平面，，，，俯视图为.俯视图为，如图（2），平面，，，，俯视图为.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到产品该项指标数据如下： 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和， 样本方差分别己为和.（1）求，，，：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 ， 否则不认为有显著提高 ) 。答案：见解析解析：（1）各项所求值如下所示.，，，.（2）由（1）中数据得.显然.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，,为的中点，且.（1）求；（2）求二面角的正弦值.答案：见解析解析：（1）因为平面，且矩形中，.所以以，，分别为，，轴正方向，为原点建立空间直角坐标系.设，，，，，所以，因为，所以所以，所以.(2)设平面的一个法向量为，由于，则.令，的.设平面的一个法向量为，则.令，的.所以，所以二面角的正弦值为.19.记为数列的前项和，为数列的前项积，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式.答案：见解析解析：（1）由已知，则，，，故是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，则，时，，时，，故.20.设函数，已知是函数的极值点.（1）求；（2）设函数，证明：.答案：见解析解析：（1）令则.是函数的极值点..解得：；由（1）可知： ，要证，即证（且）.当时，.当时，.只需证明令，且易知.则（i）当时，易得，则在上单调递减，，，得证.（ii）当时，易得，则在上单调递增.，，得证.综上证得.21.已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为.（1）求；（2）若点在上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最大值.答案：见解析解析：（1）焦点到的最短距离为，所以.（2）抛物线，设，，，得：，：，且，，都过点，则，故：，即，联立，得，，所以，，所以.而，故当时，达到最大，最大值为.22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）的参数方程为（为参数）（2）的方程为当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，此时圆心到直线的距离为，化简得，两边平方有，所以.代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.答案：见解析解析：当时，，当时，不等式，解得；当时，不等式，解得；当时，不等式，解得.综上，原不等式的解集为.（2）若，即，因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.